Géométrie dans l'espace

À l’aide d’une méthode de représentation de l’espace, la perspective cavalière, on peut étudier comment, dans l’espace, droites et plans peuvent être placés les uns par rapport aux autres.

Si l’on se cantonne à un plan de l’espace, les techniques de démonstration vues au collège restent valables, mais de nouvelles propriétés sont nécessaires pour déterminer les intersections de droites et de plans dans l’espace.

1. Comment représenter l’espace ?

Le problème de la représentation de l’espace sur un support en deux dimensions a été résolu de différentes façons selon l’objectif poursuivi.

Les peintres utilisent souvent une perspective avec un point de fuite car les dessins ainsi obtenus sont proches de la perception visuelle que nous avons de l’espace. Dans cette représentation, des droites parallèles peuvent être représentées par des sécantes.

En mathématiques, on privilégie la perspective cavalière qui a l’avantage de représenter des points alignés par des points alignés et des droites parallèles par des droites parallèles.

La perspective cavalière conserve le milieu et les rapports des longueurs pour des segments parallèles. Les figures qui sont dans un plan vu de face sont représentées à l’échelle, sans déformation. Les parties cachées des figures sont représentées en pointillé. La figure ci-dessous est la représentation en perspective cavalière d’un prisme régulier à base hexagonale.

2. Comment caractériser la position relative de deux objets de l’espace ?

Deux droites qui appartiennent à un même plan sont dites coplanaires.

Dans l’espace, si deux droites sont parallèles ou sécantes, alors elles sont coplanaires, sinon elles sont non coplanaires.

Deux plans qui n’ont pas de point commun sont parallèles. Sinon, ils sont soit confondus soit sécants ; l’intersection de deux plans sécants est une droite.

Si une droite n’a aucun point commun avec un plan, on dit qu’elle est strictement parallèle à ce plan. Sinon, la droite est soit entièrement contenue dans ce plan, soit sécante avec ce plan ; l’intersection d’une droite et d’un plan est un point.

3. Quand parle-t-on d’orthogonalité dans l’espace ?

Deux droites de l’espace sont orthogonales, si les parallèles à ces droites passant par un point quelconque donné sont perpendiculaires.

Une droite est orthogonale ou perpendiculaire à un plan s’il existe deux droites sécantes de ce plan qui sont orthogonales à cette droite.

Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

La droite s est orthogonale au plan (ABC) car elle est perpendiculaire aux droites d et d’.

Remarque

Deux droites perpendiculaires sont aussi orthogonales. Mais deux droites orthogonales ne sont pas toujours perpendiculaires. En effet, deux droites perpendiculaires sont sécantes, donc dans un même plan, alors que deux droites orthogonales peuvent être non coplanaires.

4. Quelles propriétés utilise-t-on pour démontrer dans l’espace ?

Dans tout plan de l’espace, les propriétés de la géométrie plane restent valables.

Dans l’espace, si deux droites sont parallèles à une même droite, elles sont parallèles entre elles.

Par exemple, on veut démontrer que les arêtes (AA’) et (CC’) du prisme régulier droit à base hexagonale P sont parallèles. On utilise le fait que les faces latérales sont des rectangles et la propriété précédente. ABB’A’ est un rectangle donc (AA’) // (BB’) ; BB’C’C est un rectangle donc (BB’) // (CC’) ; (AA’) et (CC’) sont parallèles à la même droite (BB’), donc elles sont parallèles.

On démontre ainsi que toutes les arêtes latérales du prisme sont parallèles.

Dans l’espace, si deux droites sont parallèles, tout plan qui contient l’une est parallèle à l’autre ou la contient.

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant avec l’un est sécant avec l’autre et les intersections sont deux droites parallèles.

Cette propriété est illustrée par la figure ci-dessous où les plans (ABCD) et (PQRS) sont parallèles. Le plan (NMKL) les coupe suivant les droites (EF) et (GH) qui sont donc parallèles.

On utilise cette propriété quand on doit, par exemple, tracer une section d’un parallélépipède.

Si d et d’ sont deux droites parallèles contenues respectivement dans des plans P et P’ sécants, alors l’intersection des plans P et P’ est une droite parallèle à d et à d’. Cette propriété, dite théorème du toit, est utilisée, par exemple, pour montrer que les arêtes d’un polyèdre sont parallèles.

À retenir absolument

Deux plans peuvent être sécants, parallèles ou confondus. S’ils sont sécants alors leur intersection est une droite.

Deux droites sont coplanaires (elles sont alors parallèles ou sécantes) ou non coplanaires.
Une droite est sécante ou parallèle à un plan.

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant avec l’un est sécant avec l’autre et les intersections sont des droites parallèles.

Deux droites dans l’espace sont orthogonales si les parallèles à ces droites passant par un point quelconque donné sont perpendiculaires. Une droite est orthogonale à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites distinctes de ce plan.

Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.